Ecuaciones diferenciales

 

Las ecuaciones diferenciales representan un cálculo matemático muy complejo para la resolución de todo tipo de problemas. También tiene su aplicación para los campos de la física, química, biología…
Es un tipo de cálculo compuesto por derivadas de alguna función que no conocemos. Este tipo de cálculo es algo difícil de comprender. No nos encontramos los números habituales tal y como los conocemos; normalmente se empiezan a utilizar letras o símbolos para ir ilustrando todos los pasos que vamos realizando.
En este artículo vamos a ver la clasificación de las “ecuaciones diferenciales” así como los principales elementos que las componen.

 
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¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

 

Clasificación general

Como la gran mayoría de las ecuaciones, se clasifican en función de las variables indeterminadas que tienen. En este caso podemos encontrar dos tipos diferentes.
-Diferenciales ordinarias: Son las ecuaciones diferenciales que tienen derivadas en base a una sola variable independiente.
-Derivadas parciales: Mucho más complejas que las anteriores. Poseen derivadas en base a dos o más variables.

 

Conceptos básicos

Tienen expresiones que relacionan funciones matemáticas con incógnitas y derivadas. Son mucho más complicadas de resolver por lo que conviene tener la mente más estructura y acostumbrada en este tipo de cálculo. Además, será necesario saber cómo se realizan las derivadas e incluso integrales (que es justamente el caso contrario).
Estos dos procesos serán necesarios en según qué tipo de cálculo.
Un ejemplo de ecuación diferencial sería la siguiente:
Y’= 2xy + 1.

 

Esta función, aparentemente ordinaria, es mucho más complicada de lo que parece aunque entra dentro de la clasificación del primer grupo.
Si probamos a efectuar la derivada nos encontramos que y= f(x) y’ = dy / dx. Estamos relacionando ambas variables con derivadas para aplicarlos a un problema determinado.

 

Orden de ecuación

El orden de la ecuación tiene por objetivo determinar la complejidad que tiene una determinada ecuación diferencial. La definición básica nos dice que el orden de una “ecuación diferencial” tiene como resultado el mismo que la derivada que tiene mayor orden apareciendo en el problema que estamos intentando tratar.
Para que esto sea más sencillo de comprender, vamos a ver un pequeño ejemplo donde establecemos el orden.

Este es un ejemplo bastante clásico de lo que puede ser una ecuación diferencial. Podemos pensar que el orden es de 3 pero, si lo analizamos detenidamente, nos daremos cuenta que realmente es de uno.
No siempre es sencillo determinar el orden de la ecuación, hace falta un estudio previo de la ecuación en general para poder llegar a una conclusión final.

 

Grado de la ecuación

Este concepto es más sencillo de comprender que el anterior porque ya lo hemos visto en otras ecuaciones más sencilla. La idea es que analicemos toda la ecuación para buscar aquella potencia con el número mayor. Ese número determinará su grado.
Es importante decir que el número debe de estar siempre expresado de forma polinómica. En el caso de que no sea así, se considera que esta función carece de grado.

 

Ejemplo de ecuación diferencial lineal

 

Para que una ecuación sea considerada lineal tiene que tener la siguiente estructura:
-Ningún término de la ecuación estará elevado a cualquier número que sea distinto a uno o a 0. De lo contrario aumentaría su complejidad y sería imposible clasificarla en este apartado.
-Las soluciones que puede tener para cada apartado serán también consideradas como soluciones totales de la ecuación en sí.
-En los coeficientes que pueden aparecer cuando se multiplican, solo intervendrá la variable independiente.
Vamos a ver algunos pequeños ejemplos para que podamos saber de lo que estamos hablando.
Y’ = y es una de las ecuaciones lineales diferenciales más simples que podamos encontrar. Las soluciones serán y= f(x) = k + e^k
Y’’ – y = 0 es una ecuación diferencial algo más compleja ya que es de segundo orden. Las soluciones serían a + e^x + b + 1/(e^x) (siendo a y b números clasificados con reales).

 

¿Para qué se utilizan las funciones diferenciales?

Esta es una de las grandes preguntas que tendrás en tu cabeza si has leído el post hasta este punto. Suele ser habitual en matemáticas; aprender el método pero no saber realmente la aplicación que podría tener en la vida real.
Las ecuaciones diferenciales se utilizan en los campos que hemos visto al principio del post, concretamente en cualquier ingeniería. Pero también se puede utilizar en alguna rama de las matemáticas como la economía.
Estas ecuaciones podemos estudiarlas en los últimos cursos de instituto, pero es más habitual cuando comenzamos nuestros estudios de carrera universitaria. Al principio nos puede parecer algo complejo, pero no es más que otro tipo de cálculo de ecuaciones al que nos tendremos que acostumbrar.
Una vez lo hagamos, veremos que no es para tanto.

Espero que el artículo te haya resultado interesante y util.