Teorema de Pitagoras

El teorema de Pitágoras tiene toda una gran cantidad de aplicaciones matemáticas en nuestro mundo actual. Partiendo de una sólida base de deducciones y demostraciones, Pitágoras fue capaz de demostrar lo que nadie había conseguido hasta ese momento. A continuación, te vamos a explicar todas las particularidades sobre este teorema, así como algunos detalles que tienes que saber.

¿Qué establece el teorema de Pitágoras?

Según este teorema, se cumple una condición en cualquier triángulo rectángulo: el cuadrado de la longitud del valor de la hipotenusa será igual al valor de la suma de todos los cuadrados que hacen referencia a la longitud de los cafetos asociados a esa figura geométrica. Partiendo de esa base, se pueden desentrañar algunos problemas matemáticos muy complejos.
El teorema exacto es: “en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa será igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.
Para que lo puedas entender, vamos a coger las dimensiones de un triángulo rectángulo X que tiene de longitud A y B y entenderemos la medida de la hipotenusa como valor C. De esta manera, se establece la siguiente fórmula:
C ^2 = a ^ 2 + b ^2 ;
Por su puesto, a partir de esta ecuación se pueden hacer diferentes cambios para poder descifrar cualquiera de los valores. A continuación, vamos a colocar las tres fórmulas más habituales que nos ayudará a poder desentrañar cualquier tipo de valor que nos pueda llegar a hacer falta:
A = √ ( c ^ 2 – b ^2)
b = √ (c ^2 – a ^2)
c = √ ( a ^ 2 + b ^2;

 

pitagoras teorema

 

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Descubre la historia

Seguramente te estarás preguntando por qué este teorema recibe este nombre tan característico; la razón es que su demostración fue puesta en funcionamiento por la escuela pitagórica en donde, lógicamente, podíamos encontrar Pitágoras. Sin embargo, no se puede decir que este teorema venga exclusivamente de allí ya que en algunas civilizaciones antiguas (por ejemplo, directamente desde el antiguo Egipto y en Mesopotamia) ya se tenían algunas tablas de valores que se podían asociar con la obtención de datos a través de un triángulo rectángulo. Pero no sólo eso, también se iba mucho más allá al poder utilizar todos estos datos con el objetivo de resolver diferentes problemas. Toda esta información la podemos encontrar en algunos papiros y tablillas que los investigadores han ido encontrando a lo largo de sus grandes investigaciones.
Ahora bien, se aplica su descubrimiento a la escuela pitagórica porque, hasta ese momento, no había ningún tipo de documento que expusiera de forma teórica la relación que existía entre la hipotenusa con sus catetos.
Como curiosidad destacada, tienes que saber que la propia pirámide de Kefrén (que data nada menos desde el siglo XXVI a. C., sería la primera pirámide que se construiría basándose en lo que se conocería como “triángulo sagrado egipcio”; es decir, que se establecían unas dimensiones de tres-cuatro-cinco para conseguir unas dimensiones prácticamente perfectas.

Diferentes demostraciones

Cómo casi cualquier teorema matemático, se ha probado con diferentes métodos para poder encontrar cualquier tipo de problema que no se ajustase a la norma general. Desde la antigüedad se han utilizado muchos métodos, incluso hasta en la edad media en donde, después de hacer las diferentes pruebas, este teorema de Pitágoras acabaría consiguiendo el grado conocido como magister matheseos.
En el caso de que te interese este tema, tienes que saber que en el mercado puedes encontrar toda una gran cantidad de libros en donde los autores se encargan de comentarte algunas de las principales proposiciones que se han hecho. Por ejemplo, si nos centramos en la obra del autor matemático E. S. Loomis, nos encontraremos con nada menos que 367 probar diferentes para llevar al límite este teorema. Esto lo podemos encontrar en su libro conocido como The pythagorean Proposition que se publicó en el año 1927 y que todavía sigue muy presente en nuestros días.
Además, en este libro también podemos encontrar con que todas estas demostraciones se han dividido en diferentes grupos: por un lado, tenemos las pruebas que se conocen como cuaterniónicas en donde se utilizarán vectores para llevar al extremo al teorema. También nos encontramos con demostraciones dinámicas (en este caso se utilizan las propiedades tanto de la masa, como de la fuerza), las pruebas geométricas (que se comparan las áreas de los diferentes triángulos, lo cual suelen ser los métodos más habituales) y las pruebas algebraicas gen donde se relacionan tanto los segmentos de la figura geométrica, como sus lados estableciendo una conexión.

La demostración de “Jiu Zhang Suan Shu y Zhou Bi Suan Jing”

Esta demostración es bastante característica porque, según se cree, Pitágoras nunca pudo conocerla. Aunque no se sabe con exactitud, todo apunta a que sería escrita entre el año 500 y el 300 a. C. (por lo menos el Zhou Bi); por otra parte, el Jiu Zhang parece que él trataría en el año 250 a. C.
En el método del Zhou Bi se demuestra el teorema creando un cuadrado que tiene de lado el valor “a+b”; Entonces se parte la figura en cuatro triángulos que tendrán un valor de base a, un cuadrado de lado c y una altura b.

Demostrando el teorema de Pitágoras con el método Zhou Bi Identificamos un triángulo rectángulo que cuenta con unos catetos con valores A y B, así como la hipotenusa con el valor de C. El objetivo, lógicamente es demostrar que el área del cuadrado de la hipotenusa va a ser igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los lados B y C.
Es decir: que nos vamos a basar en la autorización de la siguiente fórmula a ^ 2 + b ^ 2 = c ^2.
Cómo ya hemos comentado, lo primero que vamos a hacer es añadir tres triángulos iguales al original, pero dentro del cuadrado que se encuentra en el lado C con el objetivo de conseguir un cuadrado idéntico, aunque de un tamaño inferior.
De esta manera, el área del cuadrado se expresará con la siguiente fórmula matemática:

(a – b) ^2 = a ^ 2 – 2 a b + b ^2.
Partiendo del hecho de que (b – a ) ^ 2 = ( a – b ) * 2.
Con este razonamiento, resulta evidente que el área que pertenece al cuadrado que tiene como lado C va a ser la suma del área de los cuatro triángulos que hemos creado que tienen como base B y como altura A que se encuentra dentro del área del cuadrado inferior.
Es por ello por lo que podemos establecer la siguiente fórmula:
C ^2 = 4 ( a * b *^ ½) + a ^2 – 2 a b + b ^2 = a * 2 + b^2;
Con este último razonamiento queda demostrado de forma irrefutable el teorema.

Demostración mediante el “teorema de semejanzas de triángulos”

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Con el “teorema de semejanzas de triángulos” también es fácil conseguir su demostración.
Tenemos un triángulo del tipo ACB formando un triángulo en C. Tenemos que saber que el segmento CH hace relación a la altura de la hipotenusa y el mismo valor determinará los segmentos b’ y a’.
Considerando los valores de los triángulos rectángulos que se pueden formar en la figura de ABC, AHC y BHC, nos damos cuenta de que tienen las tres bases iguales y, por lo tanto, dos de las bases van a ser comunes, así como los ángulos agudos también tienen que ser comunes, básicamente porque sus lados son perpendiculares. Con este razonamiento, llegamos a la conclusión de que los triángulos son semejantes.

Semejanzas entre AHC Y ABC

Aquí descubrimos que ahí 2 triángulos que serán semejantes siempre y cuando exista un mínimo de dos ángulos congruentes:

B / b ‘ = c / b
b ^2 = b’ c;

Semejanzas entre BHC Y ABC

Por esto mismo, se establece la siguiente semejanza entre estas proporciones anteriores:

A / a ‘ = c / a
A ^2 = a’c

Estos resultados que hemos obtenido componen lo que se conoce como el “teorema del cateto”. Integrando las anteriores fórmulas conseguimos los siguientes resultados:

A^2 + b ^2 = a’ c + b’ c = c ( a’ + b’);
Cómo ya se ha establecido, el resultado de (a’ + b’ = c), por lo que, en el momento en el que sustituyamos los valores, nos encontramos con la fórmula que da pie al teorema= a ^2 + b ^2 = c ^2, por lo que queda demostrado.

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También se piensa que Pitágoras podría haber demostrado su teorema especial en base a la relación que existe entre las superficies de aquellas figuras que presenten condiciones semejantes.
Basándonos en la figura anterior, los triángulos que componen las superficies de PQR y PST son semejantes por lo que se puede establecer la siguiente fórmula:
R / U = S / V = R
Utilizando el valor de R como razón de semejanza entre los dos triángulos, intentamos buscar la relación que existe entre las dos superficies:
S(PQR) = 1 / 2 * (rs)
S (PST) = 1 / 2 * (ws)
Una vez que tenemos las dos fórmulas anteriores, tendremos que simplificar:

S(PQR) / s (PST) = rs / wv = r / u * s / v.
Teniendo como referencia la relación que hemos establecido anteriormente de r / u = s / v = r; podemos extrapolar la siguiente fórmula:

S (PQR) / S (PST) = (r / u ) ^2 = ( s / v) ^2;
Con la relación que existe entre las diferentes superficies que ponen dos figuras semejantes va a ser igual al cuadrado de la razón de la semejanza.
Si cogemos este principio y lo aplicamos a los triángulos rectángulos semejantes de las áreas de BCH y ACH nos encontramos con que:
S (ACH) / B (BCH) = (b / a ) ^2;
Y aplicando nuevamente las propiedades de las proporciones tenemos la siguiente fórmula elaborada:
S (ACH) / b ^ 2 = S (BCH) / a ^2 = S (ACH) + S (BCH) / (b ^2 + a ^2).
Y finalmente, por la semejanza que hemos establecido entre los triángulos ABC y ACH llegamos al siguiente razonamiento de fórmulas:
S (ACH) / S (ABC) = (b / c) ^2;
S (ACH) / b ^2 = S (ABC) / C ^2;
S (ACH) / b ^2 = S (ACH) + S (BCH) / (b ^2 + a ^ 2) por lo que S (ACH) + S (BCH) / (b ^2 + a ^2) = S (ABC) / c ^2.
Sustituyendo los valores llegamos nuevamente a la conclusión de que b ^2 = a ^2 + c ^2, por lo que queda demostrado el teorema de Pitágoras.

Demostración gráfica del teorema

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Sin embargo, también hay indicios de que Pitágoras podría haber obtenido la demostración del teorema de una manera gráfica.
Considerando un triángulo rectángulo que tienen lados a, b y c, conseguimos dos cuadrados diferentes:
-Por un lado, tenemos el cuadrado de la derecha que está formado por cuatro pequeños triángulos, así como por el cuadrado de la propia hipotenusa.
-Por otro lado, tenemos otro triángulo en el centro que ha sido formado por los cuadrados de los catetos y, además, se han añadido cuatro triángulos rectángulos que son iguales al inicial (esto se puede ver de una forma mucho más sencilla en la figura anterior).
Ahora imagina en tu mente que a cada uno de estos cuadrados les vamos a quitar esos triángulos; el área gris que nos queda (lo que es el equivalente a c ^2), también equivaldrá a la superficie de los cuadrados azules y amarillos (b ^2 + a ^2) por lo que se vuelve a probar la fórmula de b ^2 + a ^2 = c ^2 y, por lo tanto, queda demostrado al teorema.

Ahora ya conoces el teorema de Pitágoras, así como algunas fórmulas para demostrarlo.