Sistemas de ecuaciones

Los sistemas de ecuaciones son un proceso matemático que nos ayuda a la solución de distintos problemas. Consiste en encontrar soluciones a distintas incógnitas.

En este artículo vamos a ver los principales métodos de resolución de sistemas de dos ecuaciones, por ser los más sencillos y fáciles de comprender, pero tenemos que saber que la cantidad de ecuaciones que puede componer este sistema no tiene límite.

No es un proceso excesivamente complicado. Si se tiene cierto dominio con las ecuaciones tradicionales, esto solo supone un paso adelante. Sigue leyendo para aprender cómo solucionar los principales “sistemas de ecuaciones” habituales.

 

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones

 

Para conseguir aprender mejor los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, vamos a utilizar el mismo ejemplo todo el rato. De esta forma veremos cómo aplicar distintas soluciones a un mismo problema para poder llegar al mismo punto.

4x – 3y = -6

4x + 2y = 16

 

Método por sustitución

Este método consiste en obtener directamente el valor de una variable de la forma tradicional. Tenemos que elegir aquella que nos resulte más sencilla de despejar.

Antes que nada, es conveniente aplicar factor común a las ecuaciones con tal de simplificarlas lo máximo posible. En la primera de ella no podemos hacer nada pero en la segunda si que existe una simplificación importante.

2(2x + y) = 2(8)

De esta forma hemos dividido cada miembro por 2 consiguiendo un sistema mucho más simplificado. Este nuevo sistema es el que vamos a utilizar para los siguientes métodos.

4x – 3y = -6

2x + y = 8

•Despejamos la y que parece ser la más simple

y = 8 – 2x
•Sustituimos el valor de y en la otra ecuación.

4X – 3(8 – 2X) = -6

•Hacemos los cálculos

4x – 24 + 6x = -6

10x = -6 + 24

10x = 18

X= 18/10 = 9/5

•Despejamos el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones

Y= 8 – 2 *9/5

Y= 8- 18/5 = 40/5 – 18/5 = 22/5

•Soluciones

Y ya tenemos las soluciones del sistema de ecuación:

Y= 22/5

X= 9/5

 

Método de igualación

Este método también puede ser muy práctico según el tipo de sistema de ecuaciones que tenemos ante nosotros. La idea es despejar una misma incógnita en las dos ecuaciones que tenemos.
•Despejar una variable

4x – 3y = -6 // x= (-6 +3y) / 4

2x + y = 8 // x = (8-y) / 2

•Igualar ambas funciones

(-6 + 3y) /4 = (8 – y) / 2

•Operamos para aislar la Y

2 (-6 + 3y) = 4 ( 8 – y)

-12 + 6y = 32 – 4y

-6 + 3y = 16 – 2y // 3y + 2y = 16 + 6

5y = 22

Y = 5/22

•Averiguamos el valor de X usando el de y

Para ello, como en el método anterior, nos vamos a la ecuación anterior más sencilla.

x = (8-y) / 2

X =( 8- 5/22) /2 = 9/5.

 

Este proceso quizá no haya sido tan apropiado para usarlo en este sistema de ecuaciones. Nosotros tendremos que ser capaces de identificar aquel que pueda ser más sencillo dependiendo de la complejidad del problema en si.

 

Método de reducción

Este método es muy bueno para aquellos sistemas de ecuaciones que destaquen por ser excesivamente complejos. Es el más utilizado cuando el número de incógnitas excede de dos aunque también es posible utilizar los anteriores.

La idea es multiplicar las ecuaciones por un número. Tenemos que elegir la incógnita que queremos hacer desaparecer en ambas ecuaciones e igualarlas al mismo número.

Viendo un ejemplo estará más claro:

4x – 3y = -6

2x + y = 8

En este caso vamos a elegir la y que no tiene ningún multiplicador asociado. En este proceso es sencillo, la primera ecuación se quedará tal cual mientras que la segunda será multiplicada por 3.

3 (2x + y = 3(8) // 6x + 3y = 24

4x – 3y = -6

6x +3y = 24

Entonces las sumamos

4x – 3y = -6

6x +3y = 24

10x + 0y = 18 // 10x = 18

X= 10/18 = 5/9

De esta forma hemos eliminado una incógnita y hemos podido revelar el valor de Y. Realmente tenemos que elegir aquella incógnita más sencilla de desvelar. Muchas veces tendremos que hacer varias transformaciones a los números antes de llegar a una conclusión final.

Ahora cogemos el valor de X y lo sustituimos en alguna de las ecuaciones anteriores.

2(5/9) + y = 8

Y= 8 – 5/9 = 5/22

Y así ya tenemos el resultado final.

Estas son los tres tipos de resolución de sistemas de ecuaciones. Si queremos comprobar el resultado, tan solo tenemos que sustituir los valores en las ecuaciones principales.

 

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