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El número 1, también es llamado la unidad. Representa una sola entidad de contaje y de medida. Por ejemplo un lápiz o una estrella.
Su origen es el idioma latín. Viene del término unus. Originariamente el 1 no formaba parte del conjunto de números sino que se consideraba como el padre de todos.

 

Como número el 1 es un número entero que va antes del 2 y después del cero. En números romanos se escribe I. Es el primer elemento de los números naturales considerando que el cero no forma parte de ellos. También se trata del primer número impar dentro de ellos.

Cualquier número dividido por uno es igual a si mismo.

Cualquier número multiplicado (ver tablas de multiplicar) por uno es igual a si mismo, es por lo tanto la identidad en la multiplicación. La tabla de multiplicar del uno siempre es igual al valor multiplicado.

1 x 1 = 1

1 x 2 = 2

1 x 3 = 3

1 x 4 = 4

1 x 5 = 5

1 x 6 = 6

1 x 7 = 7

1 x 8 = 8

1 x 9 = 9

1 x 10 = 10

También uno es su propio factorial, su propia raiz, su propio cuadrado, cubo. De la misma forma si elevamos a 4, 5, 6, a cualquier número obtendremos otra vez la unidad.

El dígito uno se representa como una línea vertical normalmente con una ligera punta superior mirando hacia la izquierda.

numero1

En la famosa secuencia de Fibonacci, el primer elemento de la serie és el numero 1: 1, 2, 3, 5, 8, 11..... En muchísimas series lógicas y matemáticas se trata del primer elemento de la serie.

Es un número primo, el primero de los positivos. Es el único entero positivo que es divisible por exactamente un sólo entero (recordemos que los números primos sólo son divisibles por dos números, el uno y ellos mismos). Si tenemos en cuenta los números racionales, todos los enteros se representan como racionales dividiendose a si mismos por uno.

Es también uno de los tres posibles valores de la función de Mobius. También se utiliza el número 1 para definir en el ámbito de probabilidad un suceso que tiene toda la probabilidad de producirse (un 100%). Todas las probabilidades sobre un suceso tienen que sumar 1. En el ámbito de la electrónica y la informática el 1 es utilizado como uno de los dos posibles valores binarios (0,1) se refiere concretamente a cuando pasa corriente en el semiconductor del transistor. En química el número 1 es también el número atómico del hidrógeno. En el ámbito de los deportes se utiliza para indicar un gol, o una anotación.  (en futbol un gol en baloncesto un tiro libre).

Cuando alguien es el mejor en algo también se le conoce como el número uno. Además, el 1 es el número de dios y en numerología representa al astro mayor, al sol.

 

 

El número 23 es tan famoso que incluso hicieron una película sobre él. Veamos qué hay de cierto y qué hay de falso respecto a la mitología que rodea a este número.

He sacado de esta página web una serie de curiosidades y coincidencias que explican la particularidad y enigma que rodea a este número.  Veamos cuales son algunas de las características más relevantes del 23 que tanto sorprenden:

  • El número primo más pequeño cuyo inverso es una potencia. 32 = 2 elevado a cinco.
  • El primo más pequeño que cumple que la suma de las raíces de sus dígitos es también un número impar.
  • El suicida del avión de la película de 1970 aeropuerto iba sentado en el asiento veintitrés.
  • Es el único número primo tal que su factorial tiene los mismos dígitos que el propio número.
  • El homo sapiens tiene 23 pares de cromosomas.
  • Hay 23 definiciones en el primer libro de los elementos de Euclides.
  • Es el primo más pequeño con dígitos consecutivos.
  • Es igual a tres veces el tercer primo más dos veces el segundo primo más una vez el primer primo.
  • Dos factorial + tres factorial es igual a 2 elevado a 3.
  • El hombre más rápido del mundo puede correr a 23 millas por hora.
  • Sherlock Holmes y el Doctor Watson vivieron durante 23 años en Baker Street.
  • La columna vertebral de los seres humanos está formada por exactamente veintitrés discos.+

 

Ya sólo nos queda empezar a contar las letras de nuestro nombre, apellidos, dirección, amigos, ¡quizás nos llevamos alguna sorpresa!

  • Julio Cesar fue asesinado mediante 23 puñaladas.
  • El número de avogrado muy utilizado en Química es aproximadamente 6.02 por 10 elevado a 23

 

Relacionado: Numeros perfectos, Numeros binarios, Numeros romanos

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Definicion

Un número perfecto es un número natural que cumple con la siguiente regla: la suma de sus divisores (sin incluirse a si mismo) son igual a si mismo.  Euclides fue el primero en tratar de formalizar estos números.

 

Veamos algunos ejemplos para comprender mejor el concepto:

  • 6 = 3 + 2 + 1 (Vemos que se cumple ya que los divisores de 6 son 1, 2 y 3). Si los sumamos efectivamente obtenemos el número 6.
  • 28 = 14+7+4+2+1

 

Y ahora veamos ejemplos que no forman parte del conjunto:

  • 4 = 2+1 No se cumple.
  • 16=8+4+2+1 No se cumple.

 

Puedes comprobar por ti mismo que también pertenecen a esta clase los números 496 y 8128 sumando sus divisores y sin incluir al propio número.

 

numeros perfectos

 

Conjeturas

Actualmente se conocen 48 de estos números. Está en investigación en relación a ellos las siguientes conjeturas, ninguna de las cuales ha sido demostrada hasta el momento:

  • Que el conjunto que forman todos los números perfectos es infinito. (Actualmente cuenta con 48 elementos descubiertos por lo tanto aunque actualmente sea finito no está demostrado que sea infinito ni que sea finito). Aún así parece fácil aventurarse a conjeturar que debe ser un conjunto infinito.
  • Que no existe ningún número perfecto impar. Actualmente no se ha descubierto ninguno pero eso no significa ni demuestra que no exista ninguno. En este caso la conjetura no es tan evidente, podría existir un cifra par aún no encontrada.

 

Cuales son

Los  números perfectos del 1 al 500 son los siguientes:

  • 6 que es la suma de 1, 2 y 3. (6 es el más pequeño dentro del conjunto de estos números).
  • 28 que es la suma de 1,2,  4, 7 y 14
  • 496 que es la suma de 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 y 248.

 

Los siguientes en la lista son: 8128, 33.550.336, 8.589.869.056, 137.438.691.328, 2.305.843.008.139.952.128,...

El siguiente tiene 37 dígitos. El mayor número perfecto conocido tiene 44.677.235 dígitos y fue descubierto en 2016.

 

Seguramente en próximos años se descubriran elementos mayores, este conjunto es infinito.

 

Historia

 

La historia de este tipo de números no está documentada, parece que ya se conocía de su existencia desde la prehistoria pero que son los miembros de la escuela Pitagórica pertenecientes a la antigua Grecia,  quienes se sumergen en su estudio profundo. La razón era que les otorgaban cualidades divinas y místicas por la perfección de sus componentes numéricos.

 

Despues de los pitagóricos, un filósofo neopitagórico Nicomachus de Gerasa clasifico los números en función de la suma de sus divisores:

  • Si la suma de los divisores es menor al número entonces deficiente.
  • Si la suma de los divisores es igual al número entonces perfecto.
  • Si la suma de los divisores es major al número entonces superabundante.

 

Estos números tienen una relación muy estrecha con los números de Mersenne que son un tipo de números primos.

 

Relacionado: Numeros naturales, Numeros enteros , Numeros binarios, Numeros impares

 

Fuentes interesantes: http://www.revista.ingenieria.uady.mx/volumen6/pitagoras.pdf

 

Espero que este artículo te haya sido útil. Gracias por difundir el contenido en tus redes sociales favoritas.

 

Definición

Los números binarios pertenecen al sistema binario, es un sistema de numeración con dos elementos posibles, el 0 y el 1. El cero y el uno se asimila a la corriente que pasa por los ordenadores. Un 1 significa que pasa corriente y un 0 que no pasa corriente eléctrica. En informática se llama bit a la mínima unidad de información, binary digit, que puede tener estos dos valores (0,1).

La primera referencia en la historia al sistema de la numeración binaria fue un matemático de Origen indio llamado Pingala.

 

base binaria

 

Que es la base binaria o base 2

Para asegurar que entendemos este sistema debemos hablar de la base. Estamos acostumbrados a tratar con números de base 10, también llamados decimales por su sistema decimal. Este conjunto tiene diez elementos, cero, uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve y diez. Todos los posibles números decimales se forman a partir de estos elementos.

 

Por ejemplo 51, es 1 x 1 + 5 x 10.

 

Podemos observar que se llama base 10 porque cada dígito a la izquierda se multiplica por 10.

Si tuviéramos 121, sería  1 x 10^2 + 2 x 10 + 1 = 121, ¿fácil verdad?

 

Vamos a ver ahora la base 2. En numeración binaria, tenemos base 2, un conjunto con dos elementos posibles, el número cero y el uno. Todos los posibles números en binario se forman a partir de estos elementos.

Aquí cada dígito se multiplica por dos. El de más a la derecha por dos elevado a cero, el siguiente por dos elevado a uno, etc.

Por ejemplo: Diez en binario se escribe 1010 ¿Cómo leemos la base binaria?

 

Tenemos (leyendo las cifras de derecha a izquierda), 0 x 2 elevado a 0 + 1 x 2 elevado a 1 + 0 x 2 elevado a 2 + 1 por 2 elevado a 3

Esto dará como resultado 0 + 2 + 0 + 8 = 10

 

Otro ejemplo, pasar el número 81 a binario:

1010001 = 1 + 1 x 2^4 + 1 x 2^6 = 1 + 16 + 64 = 81

 

Al revés pasamos el número 0101010 a decimal:

101010 =  2^5 + 2^3 + 2^1 = 32+8+2 =42.

 

Como hemos podido ver los que terminen en 1 seran impares y los que terminen en 0 seran pares.

Veamos las operaciones posibles en este sistema de numeración.

 

Operaciones

 

Suma

Las posibles combinaciones de 0 y 1  a la hora de sumar son las siguientes:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1+0 = 1

1 + 1 = 10 (Nota: 10 es 2 en número binario).

 

Resta

Las posibles combinaciones de 0 y 1  a la hora de restar son las siguientes:

0 - 0 = 0

0 - 1 = 1

1-0 = 1

1 - 1 = 0

 

Multiplicación

Las posibles combinaciones de 0 y 1  a la hora de multiplicar son las siguientes:

0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 0 = 0

1 x 1 = 1

 

Lista de números binarios del 1 al 1000

 

Veremos primero del 1 al 100. A la izquierda se indica el decimal correspondiente para mayor facilidad.

0 - 0
1 - 1
2 - 10
3 - 11
4 - 100
5 - 101
6 - 110
7 - 111

8 - 1000

9 - 1001

10 - 1010

11 - 1011

12 - 1100

13 - 1101

14 - 1110

15 - 1111

16 - 10000

17 - 10001

18 - 10010

19 - 10011

20 - 10100

21 - 10101

22 - 10110

23 - 10111

24 - 11000

25 - 11001

26 - 11010

27 - 11011

28 - 11100

29 - 11101

30 - 11110

31 - 11111

32 - 100000

33 - 100001

34 - 100010

35 - 100011

36 - 100100

37 - 100101

38 - 100110

39 - 100111

40 - 101000

41 - 101001

42 - 101010

43 - 101011
44 - 101100
45 - 101101

46 - 101110

47 - 101111

48 - 110000

49 - 110001

50 - 110010

51 - 110011

52 - 110100

53 - 110101

54 - 110110

55 - 110111

56 - 111000

57 - 111001

58 - 111010

59 - 111011

60 - 111100

61 - 111101

62 - 111110

63 - 111111

64 - 1000000

65 - 1000001

66 - 1000010

67 - 1000011

68 - 1000100

69 - 1000101

70 - 1000110

71 - 1000111

72 - 1001000

73 - 1001001

74 - 1001010

75 - 1001011

76 - 1001100

77 - 1001101

78 - 1001110

79 - 1001111

80 - 1010000

81 - 1010001
82 - 1010010
83 - 1010011

84 - 1010100

85 - 1010101

86 - 1010110

87 - 1010111

88 - 1011000

89 - 1011001

90 - 1011010

91 - 1011011

92 - 1011100

93 - 1011101

94 - 1011110

95 - 1011111

96 - 1100000

97 - 1100001

98 - 1100010

99 - 1100011

100 - 1100100

101 - 1100101
102 - 1100110
103 - 1100111
104 - 1101000
105 - 1101001
106 - 1101010
107 - 1101011

108 - 1101100

109 - 1101101

110 - 1101110

111 - 1101111

112 - 1110000

113 - 1110001

114 - 1110010

115 - 1110011

116 - 1110100

117 - 1110101

118 - 1110110

119 - 1110111

120 - 1111000

121 - 1111001

122 - 1111010

123 - 1111011

124 - 1111100

125 - 1111101

126 - 1111110

127 - 1111111

128 - 10000000

129 - 10000001

130 - 10000010

131 - 10000011

132 - 10000100

133 - 10000101

134 - 10000110

135 - 10000111

136 - 10001000

137 - 10001001

138 - 10001010

139 - 10001011

140 - 10001100

141 - 10001101

142 - 10001110

143 - 10001111
144 - 10010000
145 - 10010001

146 - 10010010

147 - 10010011

148 - 10010100

149 - 10010101

150 - 10010110

151 - 10010111

152 - 10011000

153 - 10011001

154 - 10011010

155 - 10011011

156 - 10011100

157 - 10011101

158 - 10011110

159 - 10011111

160 - 10100000

161 - 10100001

162 - 10100010

163 - 10100011

164 - 10100100

165 - 10100101

166 - 10100110

167 - 10100111

168 - 10101000

169 - 10101001

170 - 10101010

171 - 10101011

172 - 10101100

173 - 10101101

174 - 10101110

175 - 10101111

176 - 10110000

177 - 10110001

178 - 10110010

179 - 10110011

180 - 10110100

181 - 10110101
182 - 10110110
183 - 10110111

184 - 10111000

185 - 10111001

186 - 10111010

187 - 10111011

188 - 10111100

189 - 10111101

190 - 10111110

191 - 10111111

192 - 11000000

193 - 11000001

194 - 11000010

195 - 11000011

196 - 11000100

197 - 11000101

198 - 11000110

199 - 11000111

200 - 11001000

201 - 11001001
202 - 11001010
203 - 11001011
204 - 11001100
205 - 11001101
206 - 11001110
207 - 11001111

208 - 11010000

209 - 11010001

210 - 11010010

211 - 11010011

212 - 11010100

213 - 11010101

214 - 11010110

215 - 11010111

216 - 11011000

217 - 11011001

218 - 11011010

219 - 11011011

220 - 11011100

221 - 11011101

222 - 11011110

223 - 11011111

224 - 11100000

225 - 11100001

226 - 11100010

227 - 11100011

228 - 11100100

229 - 11100101

230 - 11100110

231 - 11100111

232 - 11101000

233 - 11101001

234 - 11101010

235 - 11101011

236 - 11101100

237 - 11101101

238 - 11101110

239 - 11101111

240 - 11110000

241 - 11110001

242 - 11110010

243 - 11110011
244 - 11110100
245 - 11110101

246 - 11110110

247 - 11110111

248 - 11111000

249 - 11111001

250 - 11111010

251 - 11111011

252 - 11111100

253 - 11111101

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256 - 100000000

257 - 100000001

258 - 100000010

259 - 100000011

260 - 100000100

261 - 100000101

262 - 100000110

263 - 100000111

264 - 100001000

265 - 100001001

266 - 100001010

267 - 100001011

268 - 100001100

269 - 100001101

270 - 100001110

271 - 100001111

272 - 100010000

273 - 100010001

274 - 100010010

275 - 100010011

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281 - 100011001
282 - 100011010
283 - 100011011

284 - 100011100

285 - 100011101

286 - 100011110

287 - 100011111

288 - 100100000

289 - 100100001

290 - 100100010

291 - 100100011

292 - 100100100

293 - 100100101

294 - 100100110

295 - 100100111

296 - 100101000

297 - 100101001

298 - 100101010

299 - 100101011

300 - 100101100

301 - 100101101
302 - 100101110
303 - 100101111
304 - 100110000
305 - 100110001
306 - 100110010
307 - 100110011

308 - 100110100

309 - 100110101

310 - 100110110

311 - 100110111

312 - 100111000

313 - 100111001

314 - 100111010

315 - 100111011

316 - 100111100

317 - 100111101

318 - 100111110

319 - 100111111

320 - 101000000

321 - 101000001

322 - 101000010

323 - 101000011

324 - 101000100

325 - 101000101

326 - 101000110

327 - 101000111

328 - 101001000

329 - 101001001

330 - 101001010

331 - 101001011

332 - 101001100

333 - 101001101

334 - 101001110

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799 - 1100011111

800 - 1100100000

801 - 1100100001
802 - 1100100010
803 - 1100100011
804 - 1100100100
805 - 1100100101
806 - 1100100110
807 - 1100100111

808 - 1100101000

809 - 1100101001

810 - 1100101010

811 - 1100101011

812 - 1100101100

813 - 1100101101

814 - 1100101110

815 - 1100101111

816 - 1100110000

817 - 1100110001

818 - 1100110010

819 - 1100110011

820 - 1100110100

821 - 1100110101

822 - 1100110110

823 - 1100110111

824 - 1100111000

825 - 1100111001

826 - 1100111010

827 - 1100111011

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829 - 1100111101

830 - 1100111110

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832 - 1101000000

833 - 1101000001

834 - 1101000010

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836 - 1101000100

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839 - 1101000111

840 - 1101001000

841 - 1101001001

842 - 1101001010

843 - 1101001011
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846 - 1101001110

847 - 1101001111

848 - 1101010000

849 - 1101010001

850 - 1101010010

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852 - 1101010100

853 - 1101010101

854 - 1101010110

855 - 1101010111

856 - 1101011000

857 - 1101011001

858 - 1101011010

859 - 1101011011

860 - 1101011100

861 - 1101011101

862 - 1101011110

863 - 1101011111

864 - 1101100000

865 - 1101100001

866 - 1101100010

867 - 1101100011

868 - 1101100100

869 - 1101100101

870 - 1101100110

871 - 1101100111

872 - 1101101000

873 - 1101101001

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877 - 1101101101

878 - 1101101110

879 - 1101101111

880 - 1101110000

881 - 1101110001
882 - 1101110010
883 - 1101110011

884 - 1101110100

885 - 1101110101

886 - 1101110110

887 - 1101110111

888 - 1101111000

889 - 1101111001

890 - 1101111010

891 - 1101111011

892 - 1101111100

893 - 1101111101

894 - 1101111110

895 - 1101111111

896 - 1110000000

897 - 1110000001

898 - 1110000010

899 - 1110000011

900 - 1110000100

901 - 1110000101
902 - 1110000110
903 - 1110000111
904 - 1110001000
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906 - 1110001010
907 - 1110001011

908 - 1110001100

909 - 1110001101

910 - 1110001110

911 - 1110001111

912 - 1110010000

913 - 1110010001

914 - 1110010010

915 - 1110010011

916 - 1110010100

917 - 1110010101

918 - 1110010110

919 - 1110010111

920 - 1110011000

921 - 1110011001

922 - 1110011010

923 - 1110011011

924 - 1110011100

925 - 1110011101

926 - 1110011110

927 - 1110011111

928 - 1110100000

929 - 1110100001

930 - 1110100010

931 - 1110100011

932 - 1110100100

933 - 1110100101

934 - 1110100110

935 - 1110100111

936 - 1110101000

937 - 1110101001

938 - 1110101010

939 - 1110101011

940 - 1110101100

941 - 1110101101

942 - 1110101110

943 - 1110101111
944 - 1110110000
945 - 1110110001

946 - 1110110010

947 - 1110110011

948 - 1110110100

949 - 1110110101

950 - 1110110110

951 - 1110110111

952 - 1110111000

953 - 1110111001

954 - 1110111010

955 - 1110111011

956 - 1110111100

957 - 1110111101

958 - 1110111110

959 - 1110111111

960 - 1111000000

961 - 1111000001

962 - 1111000010

963 - 1111000011

964 - 1111000100

965 - 1111000101

966 - 1111000110

967 - 1111000111

968 - 1111001000

969 - 1111001001

970 - 1111001010

971 - 1111001011

972 - 1111001100

973 - 1111001101

974 - 1111001110

975 - 1111001111

976 - 1111010000

977 - 1111010001

978 - 1111010010

979 - 1111010011

980 - 1111010100

981 - 1111010101
982 - 1111010110
983 - 1111010111

984 - 1111011000

985 - 1111011001

986 - 1111011010

987 - 1111011011

988 - 1111011100

989 - 1111011101

990 - 1111011110

991 - 1111011111

992 - 1111100000

993 - 1111100001

994 - 1111100010

995 - 1111100011

996 - 1111100100

997 - 1111100101

998 - 1111100110

999 - 1111100111

1000 - 1111101000

 

Como aplicaciones y usos tenemos las siguientes:

  • Informática, utilizan en su motor de cálculo y procesamiento de datos el lenguaje binario.
  • Robótica: Otro campo donde se codifican las ordenes a los robots usando ceros y unos.
  • Telecomunicaciones: Los flujos de datos de los cables de telecomunicacones también se codifican entre ceros y unos.

 

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Para algunos las matemáticas ya son bastante complejas, pero cuando en la escuela el profesor nos dice “ahora vamos a hablar de Números Complejos”, aquellos que nos relacionamos poco con los números pensamos inmediatamente, “oh oh, esto no es bueno”. Sin embargo, te daremos aquí las claves para entender que en realidad no son nada complejos y sacarás la nota máxima en el próximo examen.

 

¿Por qué se llaman así?

Es sólo una manera de diferenciarlos dentro de la clasificación general de los números: los Complejos son sólo una combinación de un número real y un número imaginario.

 

Los números complejos son utilizados en el Álgebra, es decir, la parte de las matemáticas que restaura, que “pone las cosas en su sitio”. ¿Y por qué el Álgebra es para personas creativas? ¿Recuerdas que más arriba hablamos de un “número imaginario”? Muy bien, gracias a matemáticos creativos como un árabe llamado Al-Khwarizmi, hace mucho tiempo por el año 850 d.c., resultó que ya no sólo era el viejo y aburrido 2+2, sino que gracias al descubrimiento del Álgebra, se podía pensar una ecuación más interesante que incluyera como por ejemplo 2+2i.

 

 

De esto precisamente se tratan, tienen una parte real y una parte imaginaria, pero vamos por pasos, como estamos seguros de que conoces lo suficiente a los números reales, iremos de una buena vez a presentarte eso tan interesante del “número imaginario”.

 

La mente brillante de un italiano llamado Rafael Bombelli, se estaba preguntando cómo hacer para obtener un resultado negativo de la multiplicación de un número por sí mismo.

 

Por ejemplo 3 x 3 = 9. Se creía imposible obtener un resultado negativo. Bombelli probó poniéndolos ambos en negativo -3 x -3 = 9 pero como ves, al multiplicar los signos el resultado seguía siendo positivo. Le pasó exactamente lo mismo multiplicando el cero: 0 x 0 = 0 y los números con decimales: en 2.1 x 2.1 = 4.41 el resultado era indiscutiblemente positivo.

 

De manera que se dijo a sí mismo, “si sigo calculando al cuadrado números reales jamás obtendré un resultado negativo, por lo tanto no es posible calcular la raíz cuadrada de un número negativo”, estaba tan seguro de esto como de que se llamaba Rafael Bombelli, “a menos de que multiplique números imaginarios”, pensó.

 

Y así decidió multiplicar números a los que llamó simplemente “i” de  imaginario: i x i = -1 pensó.

 

Se sorprendió a sí mismo con su descubrimiento, ahora podía decir que tenía “un valor” para la raíz cuadrada de -1:                        i = √-1

 

Aceptando que existe “i”, es posible resolver muchos problemas donde hace falta la raíz cuadrada de un número negativo, por eso son tan importantes los números imaginarios, por ejemplo en el cálculo de la corriente alterna que está en constante cambio de positivo a negativo.

 

¿Cómo sumamos dos números complejos? Verás, es simple, sólo hay que sumarlos por separado, los reales con los reales y los imaginarios con los imaginarios. Reconocerás los imaginarios porque llevan al lado la letra “i”:

 

En esta fórmula: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) vemos como el primer número (a) se suma con el primer número (c), y el segundo número (b) con el segundo (d). Por ejemplo, si vas a sumar (6 + 4i) + (2 + 3i), siguiendo la fórmula anterior quedaría (6 + 2) + (4i + 3i) = (4 + 7i). Se sumaron reales con reales e imaginarios con imaginarios.

 

Como ves, no son tan complejos cuando tienen una razón de ser. Por último, te invitamos a fijarte en esta fórmula para cuando quieras multiplicar números complejos: (a,b) (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

 

Por ejemplo, en (6 + 4i) (5 + 3i) Tenemos que: ((6 x 5 – 4 x 3) + (6 x 3 + 4 x 5)i), de donde (30 – 12) + (18 + 20)i = 8 + 38i

 

¡Y eso es todo! Te invitamos a seguir practicando utilizando lo que hemos aprendido sobre números imaginarios.

 

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Son un conjunto que integran a todos los números que se habían estado utilizando hasta la fecha en la historia. Recordemos que antes de estos números existían los números naturales representados con la letra N; los números enteros representados con la letra símbolo Z, y los números racionales representados con la letra Q. El menciona grupo engloba a todos ellos.

Finalmente, los números reales se representan con la letra o símbolo   reales1, para señalar que se trata de cualquier número, sea racional o irracional. Esta sin duda ha sido una invitación a indagar más acerca de ellos para descubrir su importancia en el desarrollo de la vida diaria.

Como breve repaso tenemos que el conjunto de los números naturales se denota así:

reales2

El conjunto de los números enteros Q esta conformado así.

 reales3

Y los números racionales se denotan así

 numeros racionales

Y este nuevo conjunto R de reales incluye a todos los mencionados arriba.

numeros reales

Como resultado de esto tenemos entonces que los números reales incluyen a todos los números racionales e irracionales y se representan por la letra R.

 

Operaciones básicas

 

Las operaciones con los números reales son similares a los números racionales o irracionales, es como una combinación entre estos dos conjuntos.

Suma

Por ejemplo una suma de 2 + 7= 9, se sobre entiende que el número 2 tiene el signo +

En el caso de restas de números reales, se puede hacer uso del valor absoluto, por ejemplo:

-2 – 7 = -9, entonces el valor absoluto de -9 es:

|-9| = +9

Otra forma de suma que puede aparecer en los números reales es como la siguiente, pero no debes confundirte con los signos.

-3 + (- 2 ) =

No demos caer en el error de creer que se trata de una suma, sino que hay que aplicar la ley de los signos y hasta el final verificar si se trata realmente de una suma o una resta.

Por ejemplo:

-3 + (- 2 ) =

-3 y para saber si el signo que sigue es positivo o negativo sólo lo multiplicamos o lo ubicamos en la recta de los números reales.

reales6

El resultado de esto sería:

-3 – 2 = - 5

 

Propiedades

 

Propiedad de Igualdad.

Es una propiedad básica que explica que un número es igual a sí mismo, por ejemplo:

a = a

4 = 4

-2 = -2

X = 2, 2 = x

 

Propiedades de Orden

Esta propiedad sirve para encontrar el mayor valor o bien el menor y ordenarlos según sea necesario, por ejemplo:

Si a < b y b < c, entonces a < c

Resulta fácil comprender que el mayor resultado lo tiene c.

Para esto también existen las propiedades de la suma y la multiplicación, estas propiedades don la propiedad conmutativa, propiedad asociativa, propiedad de identidad y propiedad de número inverso.

 

La propiedad conmutativa está definida por la siguiente ecuación:

a + b = b + a

 

La propiedad asociativa se define como:

(a + b) + c = a + (b + c)

Como vimos a ambos lados del sigo igual el valor es el mismo. Entonces aquí se cumple la propiedad de los números reales, no importando el valor que adopten las variables a, b o c.

 

La propiedad de identidad se define de la manera siguiente:

a + 0 = a, esto significa que  en la suma de números reales, cualquier numero sumado por cero, el resultado es el mismo valor. De igual forma:

a x 1 = a, cualquier numero multiplicado por la unidad, el resultado será el mismo número.

 

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2

 

Al igual que hay números que nos permiten hablar sobre cualquier objeto, también hay números que nos permiten dividir estos objetos y hablar sobre sus fracciones. Las fracciones son números enteros “partidos” en distintos trozos. Y los números que conforman una fracción se denominan como números racionales.

 

Hoy vamos a hablar de los números racionales, que son aquellos que se pueden representar en una fracción. Podemos encontrar cualquier número entero o número decimal exacto o número decimal periódico (ya sea un número decimal periódico puro o periódico mixto). A diferencia de los números enteros, estos números no son secuenciales, puesto que entre cada número entero pueden encontrarse infinitos números decimales.

 

Estos números permiten expresar una medida de un número entero. De forma que el número entero se puede fraccionar para hablar de él en distintas cantidades.

 

¿Qué son los números racionales?

Los números racionales son todos los números que se pueden representar como el cociente de dos números enteros. Es decir, todo aquél número que se pueda representar en forma de fracción es un número racional.

 

El conjunto de números racionales se representa con el símbolo Q. El cociente (Q) es un conjunto de números que incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales.

 

A diferencia de los números naturales y los números enteros, que son consecutivos (por ejemplo, se sabe que el siguiente número a 6 es 7 y que el siguiente a -5 es -6),  los números racionales no poseen consecución, dado que entre cada número pueden existir infinitos números finitos o con decimales periódicos.

 

Estos números son completamente opuestos a los números irracionales, que son los números que no se pueden expresar a través de fracciones. Es decir, se tratan de los números que están compuestos por infinitas cifras decimales.

 

numeros racionales

 

Operaciones con números racionales

Se pueden realizar cuatro operaciones con los números racionales (Q): suma, resta, multiplicación y división. Además se puede realizar una equivalencia y una simplificación de los números racionales cuando están representados en fracciones. Sin embargo las operaciones racionales no se llevan a cabo como las operaciones naturales.

 

Equivalencia

Se dice que dos fracciones son equivalentes cuando el resultado de la multiplicación de numeradores entre denominadores de ambas fracciones es el mismo:

 a / b = a’ / b’    Por ejemplo: 27 / 36 = 9 / 12 puesto que 27 * 45 = 36 * 9 = 324

 

Simplificación

La simplificación se puede realizar siempre y cuando el numerador y el denominador son divisibles por un número distinto de 1 o -1. Al dividir tanto el numerador como el denominador por dicho número se obtiene una fracción equivalente de ella.

a / b = a’*d / b’*d = a’ / b’         Por ejemplo: 150 / 100 = 15 / 10

En esta ocasión, 10 es el número por el cual se pueden dividir tanto el numerador como el denominador, obteniendo números enteros para simplificar la operación, obteniendo un resultado menos abultado y que resulta más fácil de operar en el caso de que haya que realizar nuevas operaciones utilizando el cociente de esta fracción.

 

Suma

Las sumas de números racionales se realizan “en cruz”, multiplicando el numerador de una fracción con el denominador de la contigua, y viceversa, para sumar el resultado y dividirlo entre la multiplicación de los denominadores.

a / b + c / d = a*d + b*c / b*d

Sin embargo, si hay un común denominador y sólo si hay un común denominador, la operación es mucho más sencilla:

a / b + c / d = a + c / b

Por esta razón siempre se suele calcular el común denominador para facilitar la operación.

 

Resta

Las restas son igualmente sencillas. Al igual que con la suma, o adición, cambiará la operación dependiendo si hay un mismo denominador o si el mismo es distinto en las fracciones. La resta se realizará de la misma forma, multiplicando en cruz los numeradores y denominadores de las dos fracciones.

Con un denominador distinto:

a / b – c / d = a*d – b*c / b*d

Cuando el denominador es el mismo:

a / b – c / d = a – c / b

 

Multiplicación

Las multiplicaciones, en las operaciones racionales, se realizan en línea. Es decir, el numerador de la primera fracción se multiplica con el numerador de la siguiente fracción. Y lo mismo sucede con los denominadores.

a / b * c / d = a*c / b*d

 

División

A diferencia de las multiplicaciones, las divisiones se realizan multiplicando el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda, y viceversa.

a / b : c / d = a*d / b*c

 

Aplicaciones

Los números racionales permiten expresar cualquier medida que se puede representar con fracciones. Se puede obtener el resultado con números racionales, ya sean enteros o números con decimales.

 

En la vida diaria utilizamos los números racionales más simples. Por ejemplo, a la hora de calcular cuántas porciones de pizza se han de repartir entre un número de personas o cómo se ha de repartir un premio entre sus tres ganadores. Incluso se aplica en ocasiones aún más simples, como, ¿cuántas ovejas tenemos? O, ¿cuántas se comió el lobo?

 

Ejemplos de números racionales

Los números racionales son los que encontramos como e

l cociente de dos números enteros. Pero si aún no has conseguido diferenciar dichos números, aquí te muestro, de forma gráfica, cuáles son los números racionales y cómo se pueden reconocer.

8 / 4 = 2                12 / 3 = 3             8 / 8 = 1

 

Estas tres fracciones están compuestas por números naturales. En esta ocasión, los números racionales, son el 2, 3 y 1, respectivamente. Es decir, el cociente de la fracción es el número racional. En estos ejemplos, los números racionales han sido todos números naturales.

-7 = - 7 / 1

 

Además de los números naturales, los números racionales pueden ser también números negativos. Como se puede ver en el ejemplo colocado sobre estas líneas, el número negativo ‘-7’ se puede fraccionar, por lo que es un número racional.

0,01666 = 1 / 60

Incluso los números con decimales periódicos son racionales, puesto que se pueden expresar en forma de fracción. En esta ocasión, el número 0,01666 se puede expresar en fracción como 1/60.

Como ya explicamos y se puede ver en los ejemplos, todos aquellos números que se puedan expresar en forma de fracción son los números racionales.

 

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Vamos a ver los números de la serie lost - en español traducida como perdidos. En la famosa serie que nos fascinó hace algunos años con sus tramas adictivas, aparecía una misteriosa serie de números.

Estos eran: 4, 8, 15, 16, 23, 42. Cuatro, ocho, quince, dieciseis, veintitrés, cuarenta y dos.

Estos números aparecen en varios capítulos y tienen una gran importancia en el argumento de Perdidos.

 

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3

Definición

Un número primo es un número natural mayor a 1 cuyos únicos divisores positivos son 1 y el propio número. Dicho de otra forma, que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad. A este conjunto se le representa con la letra P mayúscula.

Cuando no se cumple esta condición y tenemos otros divisores, hablamos de números compuestos.
Veamos algunos ejemplos:

 

El número 3: Sólo podemos dividirlo por sí mismo y por 1 por lo tanto diremos que si es primo.

El número 6: Podemos dividirlo por sí mismo, por 1, por 2 y por 3, por lo tanto diremos que es compuesto.
Para clasificar un número primo, existen distintos tipos de sucesiones numéricas. Estas sucesiones contienen los distintos elementos del conjunto P.

 

Como calcular los números primos:

 

  • Números de Fermat: Sucesión con origen en el matemático Pierre de Fermat. Los elementos de esta sucesión siguen la forma 2 elevado a 2K +1: 22k +1

 

No todos los elementos de la sucesión son primos pero si algunos de ellos. (Fermat postuló inicialmente que todos lo eran).

 

  • Números de Mersenne: Sucesión postulada por el matemático Marin Mersenne. Los elementos de esta sucesión en este caso son de la forma 2 elevato a k-1: 2k-1

 

Los primeros números de mersenne son 3,7, 31, 127 y 8191. No todos los elementos de la sucesión de mersenne cumplen la condición de primalidad, sólo algunos de ellos.

 

El mayor número de mersenne conocido es: M57.885.161 = 257.885.161

 

  • Números gemelos: Se trata de aquellos números primos consecutivos cuya diferencia es 2. Por ejemplo 5 y 7 o 29 y 31.

 

A medida que aumentan las cifras, la diferencia entre primos también aumenta, de forma que si son infinitos, su diferencia también será infinita.

 

Propiedades

 

•El 0 no forma parte de este conjunto porqué no es positivo.

•El 1 no forma parte de este conjunto (aunque en el pasado si se incluía) porque no cumple con el teorema fundamental de la aritmética que veremos a continuación.

•El conjunto es infinito. Existe un número infinito de elementos del conjunto de los primos. La infinitud del conjunto fue demostrada por el matemático griego Euclides aproximadamente en el año 300 AC.

•El teorema fundamental de la aritmética dice que cualquier número entero mayor que 1 puede ser expresado como una multiplicación de números primos.

•El mayor número primo conocido es el 2885.161 tiene 17.425.170 cifras

•No se cumple como regla general que la suma de primos dé como resultado un primo, tampoco ocurre con la división, la multiplicación, la resta ni ninguna otra operación matemática. En algunos casos se cumple pero no es una regla.

 

Historia

 

Existen pequeñas muestras de que la civilización egipcia ya conocía estos números aunque no fue hasta la civilización griega, concretamente en el noveno libro de los elementos de Euclides donde se conservan las mayores evidencias especialmente la de que el conjunto P es infinito además de enunciar el teorema fundamental de la aritmética.

 

Después de Euclides, Erathostenes creó un algoritmo para calcular primos.

 

El siguiente matemático que se dedicó a su estudio fue Pierre de Fermat en el siglo XVII. También contribuyeron Mersenne, Euler y Leibniz.

 

Durante el siglo XIX, Legendre, Gauss y Riemann también se dedicaron al estudio y análisis de estos números.

 

Ya en el siglo XX las contribuciones se centran en el uso de los primos en los algoritmos RSA y de la demostración del teorema de Fermat.

 

Como saber si un número dado es primo

 

A esta propiedad, (ser primo) se le llama primalidad. Para determinar la primalidad de un número dado podemos encontrar los siguientes métodos

:
•En primer lugar intentaremos dividir nuestro número con todos los primos que sean más pequeños que la raíz cuadrada de nuestro número.

•Si en una de estas divisiones el cociente es menor o igual al siguiente primo menor, entonces nuestro número puede considerarse primo.

 

Uso

El principal uso de este tipo de números es la criptografía de clave pública. Los algoritmos RSA (Rivest Sha Ademir) que se utilizan en la disciplina de seguridad informática para encriptar y desencriptar comunicaciones cifradas.

 

Cuestiones abiertas

 

Estas son algunos de los enigmas que todavía siguen sin demostrarse:
•Existencia de infinitos pares de números primos cuya diferencia es 2 (por ejemplo 3 y 5).
•Conjetura de goldbach: Todos los números enteros pueden escribirse a partir de la suma de dos primos.
•La secuencia de números de Fibonacci, ¿incluye también infinitos primos?

 

Listado de números primos del 1 al 10000

Se incluyen del 1 al 100 y del 1 al 1000.

2

3

5

7

11

13

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Cuales son

Veamos cuales son los primeros elementos del conjunto, al igual que los números naturales o enteros, son infinitos (este hecho fue demostrado por el famoso matemático de la antigua Grecia Euclides aproximadamente en el año 300 antes de cristo en su famoso libro de los elementos sobre matemáticas) por lo que sólo indicaremos una pequeña representación (más adelante en este artículo proporcionamos todos los menores a 10000):

Hasta 100 el conjunto P está formado por los siguientes elementos:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,......}

 

Existen varios tipos de números primos en función de la forma de la sucesión numérica que los define. Estos se clasifican a partir de las siguientes tipologías:

 

Números de Fermat: Se trata de una sucesión con el formato 22k+1. Aunque el matemático Fermat postuló que todos los números de está serie eran primos, esto no es cierto, se ha demostrado que sólo algunos lo son pero no todos.

 

Números de Mersenne: Se trata de una sucesión con el formato 2k-1. Tenemos que ubicarlos en el contexto de los números perfectos (Recordemos que los números perfectos son aquellos que se pueden representar como la suma de sus divisores).  Igual que en el caso anterior, no todos los elementos de esta serie podrán ser considerados primos. Sólo lo podrán ser aquellos en los que K en la expresión anterior 2k-1 es un primo, por lo tanto sólo lo será un subconjunto.

 

Para determinar la primalidad, el cálculo no se puede hacer manualmente, sólo el de los primeros elementos. Para el resto de la sucesión lo hacen grandes computadores con una elevadísima capacidad de procesamiento de cálculo en paralelo. Hay que tener en cuenta que podemos encontrarnos con elementos como por ejemplo el siguiente  23.021.377)

 

No nos podemos imaginar qué representa esa cifra. Necesitaríamos mucho papel para escribir ese número completo. De hecho no existe papel en el universo para que podamos representarlo.

 

Números gemelos: son los números primos cuya diferencia cuando están ordenados de menor a mayor es 2 (Por ejemplo entre 5 y 7 o también entre 29 y 31).

 

Los grandes superordenadores han permitido averiguar que la diferencia entre primos a medida que aumenta el valor es cada vez mayor, es decir a pesar de ser infinitos, cada vez están más alejados unos de otros, de forma que podemos concluir sin equivocarnos, que al ser estos infinitos, también la diferencia entre dos miembros consecutivos de este tipo también será infinita.

 

Como comprobar si un numero es primo

Para averiguar la primalidad de un número cualquiera, habrá que aplicar el siguiente método sencillo derivado de la definición de primo:

  • Intentar dividir el número dado por todos los primos más pequeños que la raíz cuadrada de él. Es decir, cogemos la raíz cuadrada, a partir de ella todos los primos más pequeños de esta y sobre todos los que obtengamos intentamos la división.
  • Cuando encontremos en una de estas divisiones que el cociente es menor o igual al siguiente número primo más pequeño, entonces el número que tenemos se podrá considerar número primo.

 

Mayor número primo encontrado

Uno de los hobbies de los matemáticos es descubrir nuevos números y demostrar teoremas. La búsqueda de nuevos números primos cada vez mayores es uno de los mayores retos del mundo matemático (recordemos que el conjunto de números primos es infinito).

 

Actualmente, el mayor número primo conocido es el 257,885,161 − 1

Este número fue descubierto el 25 de enero del año 2013. Cuenta con nada menos que 17.425.170 cifras. El descubrimiento de este número ha sido por parte del GIMPS (great internet mersenne prime search) se trata de un proyecto colaborativo en internet que utiliza recursos de los voluntarios para buscar el mayor número primo a partir de los números de Mersenne

Puedes encontrar más información sobre el proyecto GIMPS en esta página web: www.mersenne.org

    

Teoremas relacionados

 

Teorema fundamental de la aritmetica

Este teorema asegura que todos los numeros naturales  tienen una descomposición factorial de numeros primos. Es decir que son producto de una multiplicación de ellos.

 

Relacionado: Números pares, Números naturales, Números racionales

 

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Numeros pares

Los números pares, son en matemáticas aquellos números enteros múltiplos del número 2. Por el hecho de ser enteros incluye tanto a números positivos como negativos. Todos aquellos que no sean múltiplos de dos les llamaremos números impares. Esta es una clasificación excluyente, es decir, los números serán o pares o impares, pero nunca podrán ser a la vez pares e impares. Además, obligatoriamente deben pertenecer a uno de los dos conjuntos. Por ello decimos que su paridad es la cualidad que les atribuye ser par o impar nunca ambos y obligatoriamente uno de los dos.

 

Veamos algunos ejemplos de positivos y negativos:

  • Positivos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100,102, ......
  • Negativos: -2, -4, -6, -8, -10, -12, -14, -16, -18, -20, -22, -24, -26, -28, -30, -32, -34, -36, -38, -40, -42, -44, -46, -48, -50, -52, -54, -56, -58, -60, -62, -64, -66, -68, -70, -72, -74, -76, -78, -80, -82, -84, -86, -88, -90, -92, -94, -96, -98, -100, -102, ......

 

Los puntos suspensivos los hemos puesto porqué se trata de un conjunto infinito, nunca acabaríamos de añadir elementos. Podemos comprobar que cada uno de los elementos que hemos escrito anteriormente es un múltiplo de dos, y adicionalmente, cada término de la serie es igual al término anterior más dos unidades, tanto la serie positiva como la serie negativa no tienen fin.

 

Las operaciones entre pares, siempre dan como resultado un número par. Veamos algunos ejemplos para demostrar esta afirmación:

  • Suma: 2+4=6, 4+8 = 12.
  • Resta: 6-4=2, 10-2=8.
  • Multiplicación: 4x4 = 16, 10 x 2 = 20.
  • División: 8/4 = 2, 16/2 = 8.

 

Paradójicamente, en el caso de los impares, las operaciones  siempre dan un numero par. Para obtener una operación con un resultado impar deberemos tener el mismo numero de pares y de impares, lo veremos a continuación.

 

Numeros impares

Los números impares, son en matemáticas aquellos números enteros que no son múltiplos del número 2 a diferencia de los pares que son múltiplos de dos. También podemos decir que son de la forma 2n+1 sea n cualquier número.

 

Veamos algunos ejemplos de enteros impares tanto positivos como negativos:

  • Positivos: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99, 101...
  • Negativos: -1, -3, -5, -7, -9, -11, -13, -15, -17, -19, -21, -23, -25, -27, -29, -31, -33, -35, -37, -39, -41, -43, -45, -47, -49, -51, -53, -55, -57, -59, -61,-63, -65, -67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99, 101...

 

Se puede verificar que ninguno de los elementos anteriores es múltiplo de dos, todos son o una unidad superiores o una unidad inferiores a los múltiplos de dos. Como en el caso anterior, son series infinitas tanto en el caso positivo como en el negativo.

Algunas de las operaciones entre numeros impares, dan como resultado un numero par otras sin embargo resultan en un impar. Con algunos ejemplos apreciaremos este hecho mucho mejor:

  • Suma: 1+5=6 (P)
  • Resta: 9-7=2 (P)
  • Multiplicación: 3x3 = 9 (I)
  • División: 9/3=3 (I)

 

La P anterior significa resultado Par y la I que el resultado obtenido en la operación es Impar. Podemos ver que todas las sumas y las restas serán P y todas las multiplicaciones y divisiones serán siempre I sin excepciones.

 

Relacionado: números primos, números enteros, números ordinales