Numeros primos

por | 7 septiembre, 2014

Definición

Un número primo es un número natural mayor a 1 cuyos únicos divisores positivos son 1 y el propio número. Dicho de otra forma, que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad. A este conjunto se le representa con la letra P mayúscula.

Cuando no se cumple esta condición y tenemos otros divisores, hablamos de números compuestos.
Veamos algunos ejemplos:

El número 3: Sólo podemos dividirlo por sí mismo y por 1 por lo tanto diremos que si es primo.

El número 6: Podemos dividirlo por sí mismo, por 1, por 2 y por 3, por lo tanto diremos que es compuesto.
Para clasificar un número primo, existen distintos tipos de sucesiones numéricas. Estas sucesiones contienen los distintos elementos del conjunto P.

Números de Fermat: Sucesión con origen en el matemático Pierre de Fermat. Los elementos de esta sucesión siguen la forma 2 elevado a 2K +1: 22k +1

No todos los elementos de la sucesión son primos pero si algunos de ellos. (Fermat postuló inicialmente que todos lo eran).

Números de Mersenne: Sucesión postulada por el matemático Marin Mersenne. Los elementos de esta sucesión en este caso son de la forma 2 elevato a k-1: 2k-1

Los primeros números de mersenne son 3,7, 31, 127 y 8191.

No todos los elementos de la sucesión de mersenne cumplen la condición de primalidad, sólo algunos de ellos.

El mayor número de mersenne conocido es:

M57.885.161 = 257.885.161
Números gemelos: Se trata de aquellos números primos consecutivos cuya diferencia es 2. Por ejemplo 5 y 7 o 29 y 31.

A medida que aumentan las cifras, la diferencia entre primos también aumenta, de forma que si son infinitos, su diferencia también será infinita.

Propiedades

•El 0 no forma parte de este conjunto porqué no es positivo.
•El 1 no forma parte de este conjunto (aunque en el pasado si se incluía) porque no cumple con el teorema fundamental de la aritmética que veremos a continuación.
•El conjunto es infinito. Existe un número infinito de elementos del conjunto de los primos. La infinitud del conjunto fue demostrada por el matemático griego Euclides aproximadamente en el año 300 AC.
•El teorema fundamental de la aritmética dice que cualquier número entero mayor que 1 puede ser expresado como una multiplicación de números primos.
•El mayor número primo conocido es el 2885.161 tiene 17.425.170 cifras
•No se cumple como regla general que la suma de primos dé como resultado un primo, tampoco ocurre con la división, la multiplicación, la resta ni ninguna otra operación matemática. En algunos casos se cumple pero no es una regla.

Historia

Existen pequeñas muestras de que la civilización egipcia ya conocía estos números aunque no fue hasta la civilización griega, concretamente en el noveno libro de los elementos de Euclides donde se conservan las mayores evidencias especialmente la de que el conjunto P es infinito además de enunciar el teorema fundamental de la aritmética.

Después de Euclides, Erathostenes creó un algoritmo para calcular primos.

El siguiente matemático que se dedicó a su estudio fue Pierre de Fermat en el siglo XVII. También contribuyeron Mersenne, Euler y Leibniz.

Durante el siglo XIX, Legendre, Gauss y Riemann también se dedicaron al estudio y análisis de estos números.

Ya en el siglo XX las contribuciones se centran en el uso de los primos en los algoritmos RSA y de la demostración del teorema de Fermat.

Como saber si un número dado es primo

A esta propiedad, (ser primo) se le llama primalidad. Para determinar la primalidad de un número dado podemos encontrar los siguientes métodos:
•En primer lugar intentaremos dividir nuestro número con todos los primos que sean más pequeños que la raíz cuadrada de nuestro número.
•Si en una de estas divisiones el cociente es menor o igual al siguiente primo menor, entonces nuestro número puede considerarse primo.

Uso

El principal uso de este tipo de números es la criptografía de clave pública. Los algoritmos RSA (Rivest Sha Ademir) que se utilizan en la disciplina de seguridad informática para encriptar y desencriptar comunicaciones cifradas.

Cuestiones abiertas

Estas son algunos de los enigmas que todavía siguen sin demostrarse:
•Existencia de infinitos pares de números primos cuya diferencia es 2 (por ejemplo 3 y 5).
•Conjetura de goldbach: Todos los números enteros pueden escribirse a partir de la suma de dos primos.
•La secuencia de números de Fibonacci, ¿incluye también infinitos primos?

Listado de números primos del 1 al 10000

Se incluyen del 1 al 100 y del 1 al 1000.

2

3

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7

11

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9967

9973

Cuales son

Veamos cuales son los primeros elementos del conjunto, al igual que los números naturales o enteros, son infinitos (este hecho fue demostrado por el famoso matemático de la antigua Grecia Euclides aproximadamente en el año 300 antes de cristo en su famoso libro de los elementos sobre matemáticas) por lo que sólo indicaremos una pequeña representación (más adelante en este artículo proporcionamos todos los menores a 10000):

Hasta 100 el conjunto P está formado por los siguientes elementos:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,……}

Existen varios tipos de números primos en función de la forma de la sucesión numérica que los define. Estos se clasifican a partir de las siguientes tipologías:

Números de Fermat: Se trata de una sucesión con el formato 22k+1. Aunque el matemático Fermat postuló que todos los números de está serie eran primos, esto no es cierto, se ha demostrado que sólo algunos lo son pero no todos.

Números de Mersenne: Se trata de una sucesión con el formato 2k-1. Tenemos que ubicarlos en el contexto de los números perfectos (Recordemos que los números perfectos son aquellos que se pueden representar como la suma de sus divisores).  Igual que en el caso anterior, no todos los elementos de esta serie podrán ser considerados primos. Sólo lo podrán ser aquellos en los que K en la expresión anterior 2k-1 es un primo, por lo tanto sólo lo será un subconjunto.

Para determinar la primalidad, el cálculo no se puede hacer manualmente, sólo el de los primeros elementos. Para el resto de la sucesión lo hacen grandes computadores con una elevadísima capacidad de procesamiento de cálculo en paralelo. Hay que tener en cuenta que podemos encontrarnos con elementos como por ejemplo el siguiente  23.021.377)

No nos podemos imaginar qué representa esa cifra. Necesitaríamos mucho papel para escribir ese número completo. De hecho no existe papel en el universo para que podamos representarlo.

Números gemelos: son los números primos cuya diferencia cuando están ordenados de menor a mayor es 2 (Por ejemplo entre 5 y 7 o también entre 29 y 31).

Los grandes superordenadores han permitido averiguar que la diferencia entre primos a medida que aumenta el valor es cada vez mayor, es decir a pesar de ser infinitos, cada vez están más alejados unos de otros, de forma que podemos concluir sin equivocarnos, que al ser estos infinitos, también la diferencia entre dos miembros consecutivos de este tipo también será infinita.

Como comprobar si un numero es primo

Para averiguar la primalidad de un número cualquiera, habrá que aplicar el siguiente método sencillo derivado de la definición de primo:

  • Intentar dividir el número dado por todos los primos más pequeños que la raíz cuadrada de él. Es decir, cogemos la raíz cuadrada, a partir de ella todos los primos más pequeños de esta y sobre todos los que obtengamos intentamos la división.
  • Cuando encontremos en una de estas divisiones que el cociente es menor o igual al siguiente número primo más pequeño, entonces el número que tenemos se podrá considerar número primo.

 

Mayor número primo encontrado

Uno de los hobbies de los matemáticos es descubrir nuevos números y demostrar teoremas. La búsqueda de nuevos números primos cada vez mayores es uno de los mayores retos del mundo matemático (recordemos que el conjunto de números primos es infinito).

mayor numero primo

Actualmente, el mayor número primo conocido es el 257,885,161 − 1

Este número fue descubierto el 25 de enero del año 2013. Cuenta con nada menos que 17.425.170 cifras. El descubrimiento de este número ha sido por parte del GIMPS (great internet mersenne prime search) se trata de un proyecto colaborativo en internet que utiliza recursos de los voluntarios para buscar el mayor número primo a partir de los números de Mersenne

Puedes encontrar más información sobre el proyecto GIMPS en esta página web: www.mersenne.org

    

Teoremas relacionados

Teorema fundamental de la aritmetica

Este teorema asegura que todos los numeros naturales  tienen una descomposición factorial de numeros primos. Es decir que son producto de una multiplicación de ellos.

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