Numeros perfectos

 

Definicion

Un número perfecto es un número natural que cumple con la siguiente regla: la suma de sus divisores (sin incluirse a si mismo) son igual a si mismo.  Euclides fue el primero en tratar de formalizar estos números.

 

Veamos algunos ejemplos para comprender mejor el concepto:

  • 6 = 3 + 2 + 1 (Vemos que se cumple ya que los divisores de 6 son 1, 2 y 3). Si los sumamos efectivamente obtenemos el número 6.
  • 28 = 14+7+4+2+1

 

Y ahora veamos ejemplos que no forman parte del conjunto:

  • 4 = 2+1 No se cumple.
  • 16=8+4+2+1 No se cumple.

 

Puedes comprobar por ti mismo que también pertenecen a esta clase los números 496 y 8128 sumando sus divisores y sin incluir al propio número.

 

numeros perfectos

 

Conjeturas

Actualmente se conocen 48 de estos números. Está en investigación en relación a ellos las siguientes conjeturas, ninguna de las cuales ha sido demostrada hasta el momento:

  • Que el conjunto que forman todos los números perfectos es infinito. (Actualmente cuenta con 48 elementos descubiertos por lo tanto aunque actualmente sea finito no está demostrado que sea infinito ni que sea finito). Aún así parece fácil aventurarse a conjeturar que debe ser un conjunto infinito.
  • Que no existe ningún número perfecto impar. Actualmente no se ha descubierto ninguno pero eso no significa ni demuestra que no exista ninguno. En este caso la conjetura no es tan evidente, podría existir un cifra par aún no encontrada.

 

Cuales son

Los  números perfectos del 1 al 500 son los siguientes:

  • 6 que es la suma de 1, 2 y 3. (6 es el más pequeño dentro del conjunto de estos números).
  • 28 que es la suma de 1,2,  4, 7 y 14
  • 496 que es la suma de 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 y 248.

 

Los siguientes en la lista son: 8128, 33.550.336, 8.589.869.056, 137.438.691.328, 2.305.843.008.139.952.128,…

El siguiente tiene 37 dígitos. El mayor número perfecto conocido tiene 44.677.235 dígitos y fue descubierto en 2016.

 

Seguramente en próximos años se descubriran elementos mayores, este conjunto es infinito.

 

Historia

 

La historia de este tipo de números no está documentada, parece que ya se conocía de su existencia desde la prehistoria pero que son los miembros de la escuela Pitagórica pertenecientes a la antigua Grecia,  quienes se sumergen en su estudio profundo. La razón era que les otorgaban cualidades divinas y místicas por la perfección de sus componentes numéricos.

 

Despues de los pitagóricos, un filósofo neopitagórico Nicomachus de Gerasa clasifico los números en función de la suma de sus divisores:

  • Si la suma de los divisores es menor al número entonces deficiente.
  • Si la suma de los divisores es igual al número entonces perfecto.
  • Si la suma de los divisores es major al número entonces superabundante.

 

Estos números tienen una relación muy estrecha con los números de Mersenne que son un tipo de números primos.

 

Relacionado: Numeros naturales, Numeros enteros , Numeros binarios, Numeros impares

 

Fuentes interesantes: http://www.revista.ingenieria.uady.mx/volumen6/pitagoras.pdf

 

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