Integrales de funciones

 

Las integrales son unas operaciones matemáticas con unos usos muy definidos. La principal característica es que la operación contraria a las derivadas con una pequeña excepción. En el artículo siguiente vamos a ver los primeros pasos para aprender a integrar, así como algunos ejercicios prácticos que nos van a enseñar a hacerlo.

 

Primeros pasos con las integrales

Termino independiente

Lo primero que tenemos que saber a la hora de hacer integrales es que, a pesar de ser la operación contraria de las derivadas, no se obtiene el mismo resultado. Cuando hacíamos una derivada de un una parte independiente, esta era 0.

Ej: f(X)= 3X + 2
F`(X)= 3
La operación contraria nos daría a dar el 3x pero no sabríamos cual es el término independiente así que lo tendremos que expresar de la siguiente manera.

∫F’(X) = 3X + C

Es importante añadir siempre el “+ C” para indicar las posibles soluciones. En caso contrario el ejercicio no estará resulto de la forma correcta.

 

Concepto general

Al igual que pasaba con las derivadas, las integrales tenemos que tratarlas término a término en el caso de que estén sumando o restando. Si multiplican, dividen o hay algún tipo de operación diferente, tendremos que aplicar la fórmula específica.

Ej: f(x) = 2x + 3x^2
∫2x = 1/3 * 2x^2 = 2/3x^2
∫3x^2 = 1/3 * 3x^3 = x^3

∫f(x) = 2/3x^2 + x^3 + C
No hace falta que lo entiendas de momento pero es importante que veas la idea básica; dividirla en partes para que sea más sencillo su estudio.
La forma de comprobar si una integral está bien hecha es integrando.
De tal forma: f’(x) = 2 * 2/3x – 3 * x^2= 2x + 3x^2 por lo que el cálculo es correcto

Al igual que pasaba con las derivadas, si tenemos un número multiplicando una integral, podemos sacarlo fuera de esta y efectuar el cálculo.

F(x) = 2x^2 + 4x^2 = 2(x^2 + 2x^2)
∫f(X) = 2(1/2 x^2 + ½ * 2x^3) + C

Lo que hemos hecho es extraer factor común de algún valor que se repitiera. En este caso era el dos. De esta forma hemos conseguido simplificar la operación.
Transformar las operaciones es vital para el cálculo de las integrales

 

Integración de potencias

Para “integrar potencias” hay que seguir la siguiente fórmula ∫f(x) = 1/a * x ^a+1
Básicamente es el proceso contrario a una derivada de potencia; le sumamos al exponente una unidad y multiplicamos en el número por 1/a (siendo A el exponente sumado una unidad)

Ejemplos:

F(x) = x^5 // ∫f(x) = 1/6 * x^5+1 = 1/6 * x^6 + C

F(x) = x + x^2 + 3x^3
∫(x) = ½ x^2 + 1/3 * x^3 + ¼ * 3x^4

Puede que sea un poco complicado de asimilar. A pesar de estar íntimamente relacionadas con las derivadas, son mucho más difíciles. Si tenemos que aprender a integrar, es conveniente hacer la mayor cantidad de ejercicios posibles. De esta forma nuestro cerebro se acostumbrará a los nuevos cálculos.

 

Integrales de multiplicación

Aquí es cuando la cosa empieza a complicarse. Realmente no existe una fórmula mágica que nos haga poder calcular de forma directa la integral de factores que están multiplicándose. Esto ocurría en las derivadas pero en la integrales no es tan sencillo.
Lo que hacemos es un cambio de variable. Vamos a ver un ejemplo práctico y así lo podréis entender mucho mejor.
∫(x) x^2 / ∛(1 + 2x)

Puede que sea algo complicado de entender en un principio. Pero si seguimos los pasos no tenemos ningún problema. Lo único que estamos haciendo es un cambio de variable y tratar cada apartado como si fuera único.
Haciendo un par de ejercicios sobre multiplicaciones y divisiones lo podremos entender mejor.

 

Integrales logarítmicas

Seguimos la fórmula anterior para conseguir hallar la integral de una función logarítmica.
Por ejemplo, si tenemos la función f(x) = 2x/(1x x^2) el resultado será Ln (1x+X^2)
No es que sean operaciones especialmente difíciles, pero siempre es importante observar la forma en la que se puede simplificar una operación. Analiza que factores pueden eliminarse, en cuáles de ellos se pueden extraer factor común y tendrás una integral muy fácil de realizar.
El igual que los pasos anterior, los logaritmos pueden asustarnos al principio pero, con la práctica y esfuerzo, llegaremos a controlarlos.

 

Integrales trigonométricas

A continuación os pongo un listado con todas las funciones trigonométricas. Realmente están extraídas a partir de las primarias; es decir, que conociendo las iniciales podríamos llegar fácilmente a las siguientes fórmulas
Igualmente es conveniente aprenderlas de memoria porque suelen estar presentes en la mayoría de ejercicios de integrales matemáticas.