Ecuaciones de segundo grado

 

Las ecuaciones de segundo grado aportan un poco más de dificultad a las de primero ya que en esta tendremos que utilizar una fórmula para resolverlas. En realidad es bastante sencillo pero requiere de práctica y de hacer muchos ejercicios para conseguir dominarlas. Además, muchas veces no es tan fácil como aplicar la fórmula, también será necesario estudiar el caso, hacer cálculos, y simplificar al máximo la operación para poder trabajar con ella.
En este artículo vamos a analizar los casos principales y así poder ver la forma en la que trabajaríamos.

 

Distintos casos para la resolución de ecuaciones de segundo grado

Incompletas puras: ax^2 + c = 0

Este es el tipo de caso que nos esperaremos encontrar. Básicamente porque es el más sencillo ya que el elemento B=0; en otras palabras, solo tendremos el exponente elevado al cuadrado y el término independiente. De esta forma podemos encontrar una manera muy sencilla para llegar a su completa resolución.
La idea es la misma que hemos podido ver en las ecuaciones de primer grado. Hacer las operaciones necesarias para despejar la X a un lado y un número al otro. Luego hacemos la operación inversa del cuadrado que sería la raíz y se la aplicamos al número.
Es importante saber que la solución tendrá dos resultados, el positivo y el negativo de este número. Esto es debido a que un número elevado al cuadrado, independientemente de su naturaleza, siempre será positivo. De hecho el concepto de ecuaciones de segundo grado se refiere a que la operación tendrá un máximo de dos soluciones, aunque bien podría haber una o ninguna.
Vamos a ver un ejemplo práctico que nos ayude a entenderlas::

-3x^2 = 48 // x^2 = 48/3 // x= √48/3 = ±16

Simple y sencillo ¿verdad? Para ver si nos ha quedado claro el concepto, vamos a ver un ejemplo un poquito más complicado.

(x+5)(x-5) = 0 // X^2 – 5^2 = 0 // x^2 – 25 = 0 // 2= √25 = ±5

En este caso hemos utilizado las propiedades notables, de tal forma que (a + b) (a –b)= a^2 – b ^2. Esto nos puede ayudar a simplificar el proceso de multiplicación… pero no pasa nada si no te acuerdas, siempre puedes hacer la operación multiplicando cada término por el siguiente.

Incompletas binomiales: ax^2 + bx= 0

Este caso también es bastante especial ya que nos faltará el término independiente (es decir, que c=0). Desearemos que nos aparezca este caso particular porque es muy fácil de solucionar. Consiste en extraer factor común. Es decir, encontrar un multiplicador que se repita en todos los componentes números de la ecuación.
Vamos a ver un ejemplo para que puedas entenderlo mejor:

X^2 = 5x // x^2 – 5x = 0 // x(x- 5 ) = 0 //
x-5 = 0 // x= 5

Es importante analizar el caso para que no nos perdamos. La idea es colocar todos los números en el mismo lado igualando la operación a 0. En ese momento procedemos a sacar común. En este caso, el factor que más se repite es X, por lo que dividimos cada uno de los números por X y la colocamos multiplicando fuera del paréntesis.
De esta forma ya tenemos nuestra primera solución
X1 = 0. (ya que al multiplicar el conjunto X-5 por 0, evidentemente da 0. Este caso es común en las ecuaciones incompletas binomiales, el primer resultado será 0.
El contenido del paréntesis “x-5” lo tratamos por separado como si fuera una ecuación de primer grado. Resolvemos y nos que 5. Así que las solucione son.

X1 = 0
X2 = 5

Ecuaciones completas

Las ecuaciones de segundo grado son más complejas porque es necesario seguir la fórmula anterior. Una vez que la hayamos hecho varias veces no nos costará tanto. Vamos a ver un ejemplo práctico que nos va a ayudar a entenderla mejor.

3x^2 – 5x = – 2 // 3x^2 – 5x + 2 = 0

X= -(-5) ± √(25 – 4 * 3 * (2)) / 2 * 3

X = 24 ± √(25-24) / 6
X = 24 ± √(1 / 6 = 24/6 = ±4

Así que la solución de la ecuación de segundo grado anterior es -4 y -4. Es importante que, pesar de haber solucionado la operación con éxito, se indique que, efectivamente, existen dos soluciones diferentes. De lo contrario puede no salir bien.

Raíz negativa

Es importante analizar algunos casos donde la raíz es negativa. Esto nos puede pasar en cualquier de los anteriores pero vamos a coger uno fácil.

X^2 + 25 = 0 // x= √(-25)
La raíz de -25 no existe por lo tanto esta ecuación no tiene solución. Se dice que tiene raíces imaginarias.

Y este es el método correcto para resolver ecuaciones de segundo grado.