Derivadas de funciones

Las derivadas son un recurso matemático que se utiliza para analizar el comportamiento de una función. Son una serie de procesos muy utilizado en la física actual por lo que es muy importante conocerlas si vas a estudiar algo relacionado.

Se trata de un método que transporta una determinada función en algo bien distinto. En este artículo vamos a ver las formas de aplicar una derivada a una función de terminada; los casos principales y las posibles aplicaciones.
Es un proceso que puede ser algo complicado al principio, pero una vez que dominemos el método, no tendremos ningún tipo de problema

 

Derivadas de las funciones principales

 

Teoría general

Cuando hacemos una derivada sobre una función específica, tenemos que tener en cuenta se tenemos sumas o restas. Vamos a suponer que, por ejemplo, tenemos la siguiente ecuación:

F(X) = 3x^2 + x^3

En ese caso tenemos que tratar cada sumando por separado; es decir, que tenemos que hacer la derivada de forma independiente. Por una parte aplicaremos la derivaba al sumando 3x^2 y por otro lo haremos con x^3.
Esto también es aplicable a la resta. Si suponemos que tenemos la siguiente derivada:

F(X) = 3x^2 – x^3

El proceso será exactamente lo mismo. Tendremos que separarla en varias partes y aplicar la derivada por separado.
Es importante remarcar que en el caso de la división y multiplicación la cosa es distinta. Más adelante veremos las fórmulas que nos va a permitir calcularlas, pero de momento nos tenemos que quedar con que eso funciona de una manera diferente.

 

Derivada de una constante

La derivada de cualquier número natural es igual a 0.
Si tenemos que hacer la derivada de la función 3 + X, seguiremos el proceso que hemos indicado anteriormente. Cuando lo dividimos tenemos el primer 3, al ser una constante será igual a o. El término que queda lo analizamos a continuación.

 

Derivada de potencias

Para derivar potencias tenemos que seguir una formula básica.
R(X)^r-1
Vamos a ver un ejemplo para que podamos comprenderlo mejor. Seguimos con algunas de las funciones que hemos podido ver en el punto anterior.
F(X) = 3x^2 + x^3

Vamos a tratarla por partes:

[ 3x^2]’ = 6x
[x^3]’ = 3x^2
F’(x) = 6x + 3x^2

Es importante que comprendamos el procemos que hemos realizado para que podamos entender los siguientes. Tenemos que fijarnos en el número de la potencia del exponente, en el primer caso el 2 del exponente pasa a la izquierda multiplicando por el 3, y restamos una unidad de ese exponente.
Los mismo pasa en el siguiente caso.
Supongamos que tenemos ahora F(X)= 6x.
Esto podemos hacerlo de forma inmediata ya que nos quedaría 6 pero quiero que entiendas él porque. Esta potencia está elevada a 1. Si aplicamos la derivada tenemos que pasar el 1 a la izquierda y restar una unidad al expontente:
1 X 6X ^1-1 = 6X ^0 = 6 X1 = 6.
Cualquier número elevado a cero(menos cero) da uno así que de esta manera hemos obtenido el resultado.

 

Derivada de logaritmos

Para hacer un logaritmo tenemos que aplicar la siguiente fórmula:
[ Ln(x) ]’ = 1/X
Vamos a hacer un ejemplo básico para que puedas comprender mejor el método.
Suponemos que tenemos la función f(x) = 2Ln(x) + 4x^5
Cuando tenemos un multiplicado delante de una función, podemos extraerlo y ejecutar la derivada sin que esta se vea afectada.
De esta manera tenemos el siguiente resultando:
[2Ln(x) + 5x^4]’ = 2(1/x) + 20x^4 = 2/x + 20x*4 = 2(1/x + 10x^4)

En este caso hemos podido simplificar más la operación extrayendo factor común. Aunque no era imprescindible, saber hacerlo nos garantiza poder solucionar derivadas mucho más complicadas.

 

Derivada de multiplicaciones y divisiones

Con las multiplicaciones las cosas se complican. Tenemos que seguir una fórmula específica para cumplirla; aunque al principio puede ser complicada, seguro que la terminamos aprendiendo de memoria

Para entenderlo; básicamente es la multiplicación de la primera función sin derivar por la segunda derivada más la primera derivada por la segunda sin derivar.
Vamos a hacer un ejemplo práctico pero antes es conveniente analizar la fórmula de la división

Prácticamente el método es el mismo solo cambiando algunas pequeñas cosas.

Ejemplo práctico:
F(x) = 2x/ln(x)
[2x/ln(x)]’ = (x * ln(x) – 1/x *2x)(ln(x))^2 = (xln(x) – 2)/2ln(x)
Aquí hemos utilizado las propiedades de los logaritmos para despejar el expontente resultante de la aplicación inferior.

 

Derivadas de funciones trigonométricas

Dada la variedad de las mismas, es importante exponerlas en forma de listado para poder encontrar la que estéis buscando.

 

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